Perdre la boule – Calculs


Une sphère, une boule, c’est à peu près presque pareil !

Le différentes choses à calculer sur une sphère

r sera utilisé pour le rayon, \pi pour la valeur Pi (3,14..)

Circonférence ou périmètre d’un cercle ou d’une sphère
Cas d’un cercle ou sphère parfait

  • 2\pi r ou 2r\pi ou

Ex avec la circonférence de la Terre à l’équateur
2\pi \times 6371
40 030 km

Surface ou air d’une sphère

  • 4\pi r^{2}

Ex avec la surface de la Terre
4 \pi \times 6371^2
510064472 km^2

Volume d’une sphère

  • {\frac {4\pi r^{3}}{3}}

Circonférence ou périmètre de la latitude d’une sphère

Les latitudes vont de 0 à 90° et de 0 à -90° en partant du milieu de la sphère vers ses « sommets », par exemple pour la Terre, on a 0° à l’équateur, 90° au pôle Nord, -90° au pôle Sud, d’environ 23° au tropique du Cancer ….

\cos (l) 2r \pi ou « l » est la latitude en degré

Exemple avec la circonférence du Tropique du Cancer
\cos(22) \times 2 \times 6371\times \pi
0,92 \times 2 \times 6371 \times 3,14
36847 km

Distance entre les longitudes

Un cercle est divisé en 360°, on peut donc calculer la distance entre chaque longitude séparée de 1°.

En divisant la circonférence de la sphère ou d’une de ses latitudes par 360° on obtient donc la distance entre deux longitudes d’1°.

\cos (l) 2r \pi /360

Exemple avec la Terre au niveau de l’équateur
\cos (0) \times 2 \times 6371 \pi /360
(1 \times 2 \times 6371 \times \pi)/360
111,2 km

A partir de là, on peut multiplier par x le résultat ou x vaut le nombre de degrés souhaité.

Puis, si on connait les longitudes de 2 villes qui seraient sur la même latitude, on peut donc calculer la distance qui les sépare.

Exemple Stuttgart et Paris sont à peu près à la même latitude.
Stuttgart 48.776409, 9.177893, Paris 48.856579, 2.347401
9.177893 - 2.347401 = 6,83
(\cos (49) \times 2 \times 6371 \pi /360) \times 6,83
(26262/360) \times 6,83
73 \times 6,83
498 km, c’est ce que me dit Google Maps avec l’outil permettant de mesurer une distance entre 2 points

Distance entre deux positions avec longitudes et latitudes

Bon, celle là j’ai cherché et je suis tombé su ça

\arccos(\sin(lat1\times\pi/180)\sin(lat2\times\pi/180)+\cos(lat1\times\pi/180)\cos(lat2\times\pi/180)\cos((lgt1\times\pi/180)-((lgt2\times\pi/180))\times6371

Exemple avec le calcul de la distance entre deux villes, Paris : 48.857482, 2.352894 et Bruxelles : 50.850619, 4.349639
\arccos(\sin(48.8574\times\pi/180)\sin(50.8506\times\pi/180)+\cos(48.8574\times\pi/180)\cos(50.8506\times\pi/180)\cos((2.3528\times\pi/180)-((4.3496\times\pi/180))\times6371

Rayon de la latitude

Pour ça il faut connaitre le rayon de la sphère

r \times \cos(l)

Exemple avec le rayon de la latitude de Paris, environ 49°
6371 \times \cos(49)
4180 km

Distance entre une latitude et un pôle

Pour mesurer l’arc d’un cercle avec un angle connu en degré on utilise cette formule

2 \pi r( \frac { \theta}{360}) ou \theta correspond à l’angle en degré

Exemple avec la distance entre le pôle sud et le tropique du Cancer
Le Tropique du Cancer est à 23° de l’équateur, soit 90 - 23 = 67° du pôle Sud
2 \pi \times 6371 (\frac{67}{360})40005 \times 0.1867445,6 km$

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